排列是从n个不同元素中,任取m(m≤n,m与n均为自然数)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A(n,m)表示。组合是从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。
排列组合主要有两种原理,一种是加法原理:分类用加法;另一种是乘法原理:分步用乘法。
【例题1】从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意选出三个数,使它们的和为偶数,则共有( )种不同的选法。
A . 40
B . 41
C . 44
D . 46
【解析】从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意选出三个数,使它们的和为偶数。要么2个奇数1个偶数,要么3个全是偶数,有 C(1,4)×C(2,5)+C(3,4)=44。故答案为C。
【例题2】某型号的变速自行车主动轴有3个齿轮,齿数分别为48、36、24,后轴上有4个不同的齿轮,齿数分别是36、24、16、12,则这种自行车共可以获得多少种不同的变速比?()
A . 8
B . 9
C . 10
D . 12
【解析】这个题目表面上看是一道排列组合问题,很容易得出3×4=12种的错误答案,因为忽略了题目中的关键词“变速比”。不考虑齿轮齿数,共有3×4=12种组合,但是48:24,24:12的变速比都为2;48:16,36:12的变速比都为3;36:24,24:16的变速比都为1.5;36:36,24:24的变速比都为1。所以共有12-4=8种不同的变速比。故答案为A。
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