数量关系答题技巧之容斥原理典型例题精讲（1）

一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？　

A、12人

B、14人

C、15人

D、16人

解题技巧点拨：

    这是一道数量关系数学运算的典型例题，此题为单选题、二级难度，需要仔细认真审题。以应用题形式考查容斥原理知识点，要求两项活动都会的人最多。设三种舞蹈分别称为A、B、C，则一共可分为7种情况：A、B、C、AB、AC、BC、ABC。要想会跳两种的人最多，则A、B、C、ABC分别为零，设会跳AB、AC、BC的人分别为X、Y、Z，根据题意可知有12人会跳拉丁舞，X+Y=12；有8人会肚皮舞，X+Z=8；有10人会芭蕾舞，Y+Z=10；解得X、Y、Z分别为5，3，7，所以总共有15人会两种舞蹈。故答案为C。

考生笔记：

·（12+8+10）\2

·此题直接秒解，30/2=15。详细见参考答案。

·8人分成5个会拉丁 3个会芭蕾 使剩下的拉丁和芭蕾人数相等=7人 8加7=15人。

·容斥原理，要求某项最多，则要求其他项尽可能小。

·简化算法，将每种舞蹈的人数相加再除以2。

·谢谢这个中政考友，太厉害了。x+2y+3Z=30 X Z 题目问至多，所以可以设只会一种舞蹈x的为0，会3种舞蹈的z也都为零，即2y=30，y=15。

·极限思维，将其他情况罗列后都设为0，

·x+2y+3z=30 x z=0 就是y最大。

·没想到用方程解题，设会跳AB、AC、BC的人分别为X、Y、Z，根据题意可知有12人会跳拉丁舞，X+Y=12；有8人会肚皮舞，X+Z=8；有10人会芭蕾舞，Y+Z=10；解得X、Y、Z分别为5，3，7，所以总共有15人会两种舞蹈。

·表面是容斥原理其内好多都是再列方程解方程。

·这题非常经典。值得收藏。

老师答疑：
问题：我完全看不懂答案为什么说A、B、C、ABC分别为零时是能够让跳两种舞蹈的人最多？
回复：你好，要从大局上看问题，会跳舞的30人分为这么几类：只会跳A的，只会跳B的，只会跳C的，A、B、C三种都会跳的，剩下的是会跳两种舞蹈的。问题求的是有几人会跳两种舞蹈，那么，为了使会跳两种舞蹈的的人数最多，则要使“只会跳A的，只会跳B的，只会跳C的，A、B、C三种都会跳的”这么几类人的人数尽量少，最少就是0。

问题：老师您好！这个没明白 AB BC AC为XYZ 12人会跳拉丁舞，X+Y=12 但是这个里面有人会跳肚皮舞啊？
回复：你好，因为会跳AB、AC的属于不同的人，但他们都会跳A，那么，会跳A的人数等于两者之和，即X Y=12。

问题：不能理解。
回复：你好，这一题就是考容斥原理，不知道你高中集合学得怎么样，这就是考集合的一种。

问题：这道题目麻烦老师看一下。
回复：这道题老师看了没用，得说明你是哪里不明白，如果是公式都不明白，建议你先去听课或者上网搜索相关基础理论知识再做题。

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